Фамилия Вари формируется из прозвище Варин. Это, вероятно, восходит к слову "воин" В. И. Даль в "Толковом словаре русского языка" определяет как "холм, небольшая гора, крутая гора", или, наоборот, "овраг". Во всяком случае, это прозвище, скорее всего, указывают на место жительства человека.
Менее вероятно, что прозвище относится к так называемой «профессиональной» имен, содержащее указание на род занятий человека. Например, можно было бы назвать повар или кто-то варили смолу. Но первый вариант кажется более вероятным. Варин, в конце концов получил имя Варя.