Прибегая фамилия происходит от прибегая прозвища. Прибегая прозвище восходит к глаголу "курорт". Скорее всего, это прозвище указывает на определенные черты характера. Таким образом, прибегая к вызову, кто много суеты и быстро двигались, бегали, делали все очень быстро, "на лету".
По другой версии, по прозвищу Прибегая были среди «профессиональных» имен, то есть указанной на род занятий человека. Например, как можно было бы назвать бегуном или возничий, который быстро пошел.
Наконец, мы не можем исключать, что прозвище было прибегая беглого крестьянина, скрываясь от моего хозяина в деревне или в сельской местности.