Скорее всего, на основе прозвища Berezhenets является нарицательным "берег". Наверное, так назвали человека, который жил на берегу реки, озера или другого водоема.
Возможно также, что название восходит к глаголу "сохранить". В этом случае прозвище Berezhenets любимое детище, охраняемый родственников, в окружении всеобщего внимания, или испорчен, ленивый человек. Berezhenets в конечном счете получил название Berezhentsev.