По одной из версий, на основе прозвища Бережной является нарицательным "берег". Скорее всего, кто-то осторожно называть которые жили на берегу реки.
Возможно также, что название восходит к глаголу "сохранить". В этом случае прозвище Бережной человек, охраняют родственники, в окружении всеобщего внимания, или кто-то, кто заботился о себе тоже. Осторожно, в конечном счете получил название тщательно.