Бугай фамилия происходит от прозвища Буг. Ник Бугай имеет несколько значений. По одной из версий, он мог бы получить большие, сильные, здоровые люди (с нарицательным "бык" - "разведению быков"). Согласно другой точке зрения, прозвище, данное предку чем-то напоминает птицу быка (старое название выписаны). Быки были также называемый в некоторых диалектах платье. В этом случае, предок человека с таким именем может быть портным.
Однако, более вероятным является предположение, что это название образовано от татарского слова "бык" - "кажущееся, видимое". Известно, что род Бугаев имеет свои истоки христианства от потомка Чингиз-хана - Тай-бык, который является знаком примирения с Москвой русичи замуж принцессу.