Фамилия Zabyshny формируется из аналогичных прозвище. Она берет свое начало в глаголе "забыть" - "держать в памяти, не помню", "терять из виду". Возможно, прозвище отражает личность или поведение основателя семьи (рассеянность, невнимательность).
Возможно также, что предок Zabyshnyh так долго не было дома, что семья и друзья могли его забыть, но вернулся позже и получил прозвище Zabyshny. В конце концов получила название Zabyshny.