Фамилия Завитаев формируется из Завитаев прозвища. Она берет свое начало от нарицательным "завиток" - "или zavivshayasya свернувшись прядь волос завиток". Это прозвище может получить человек с вьющимися волосами.
Возможно также, что основой является прозвищем от глагола "парить" - ". забывать о реальности, предаваться мечты, мысли улетают куда-то" В этом случае прозвище Завитаев могли окрестить развитым воображением и склонностью к мечте. Завитаев в конечном счете получил название Завитаев.