Ременюк фамилия происходит от прозвища Ременник. Фамилия Ременюк формируется из Ременник прозвища. Таким образом, чтобы назвать человека, который изготовлен ремни для продажи. В Вологодской и Вятской диалектах нарицательное "пояс" означало "разорванной лохмотья". В этом случае, прозвище было дано нищим Ременник.
Вполне возможно, что в основе этого прозвища является глагол "Ремша", который находится в Московской, Тверской и Курской диалект имеет значение "шибко, быстрая ходьба, спешите". Соответственно, Ременник - и это суетливый человек.
Позже Ременник прозвище имя Ременюк.