Berezhetsky фамилия происходит от прозвища Berezhetsky. Скорее всего, на основе прозвища Berezhetsky является нарицательным "берег". Наверное, так назвали человека, который жил на берегу реки.
Возможно также, что название восходит к глаголу "сохранить". В этом случае прозвище Berezhetsky человек, охраняют родственники, в окружении всеобщего внимания, или кто-то, кто заботился о себе тоже.