Скорее всего, на основе прозвища Береженого (Бережная) является нарицательным "берег". Наверное, так назвали человека, который жил на берегу реки, озера или другого водоема.
Возможно также, что название восходит к глаголу "сохранить". В этом случае прозвище любимое детище Лучше перестраховаться, охраняемый родственников, в окружении всеобщего внимания, или испорчен, ленивый человек. Лучше перестраховаться (Бережная), в конце концов получил название Berezhneva.