Бережок фамилия происходит от прозвища берега. Скорее всего, на основе прозвища Бережок является нарицательным "берег". Наверное, так назвали человека, который жил на берегу реки, озера или другого водоема.
Возможно также, что название восходит к глаголу "сохранить". В этом случае прозвище Бережок любимое детище, охраняемый родственников, в окружении всеобщего внимания, или испорчен, ленивый человек.