Фамилия Богайчук был образован из прозвища Богай. Вполне возможно, что это фонетическое вариант сенной прозвища, возникшие под влиянием говоров «okaûŝih». Обычно в некоторых регионах России был вызван šaluna, ozornika. Это был притяжательном падеже существительные с суффиксами код \/ ЮК, ЧУК, ВИЧ, первоначально указывая прозвище его отца.
Позднее, в 1888 году сенат издал специальный указ, который было написано: «известных как фамилия не только право, но и обязанность каждого полного и označenie имена некоторых документов, требуемых законом.» Богай, в конечном итоге получил название Богайчук.